\title{金融随机分析}
\subtitle{状态价格及资本资产定价模型}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
\titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=0.8cm]{../figure/swufe-logo-wide.jpg}}

\begin{document}

\maketitle
\begin{frame}{目录}
    \setbeamertemplate{section in toc}[default] % [sections numbered]
    \tableofcontents[hideallsubsections]
    %\begin{columns} % ganx@swufe: Use this when there are many sections.
    %    \begin{column}{.45\textwidth}
    %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=1-4]
    %    \end{column}
    %    \begin{column}{.45\textwidth}
    %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=5-8]
    %    \end{column}
    %\end{columns}
\end{frame}

\section{测度变换}

\begin{iframe}[c]{真实概率测度与风险概率中性测度}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 股价涨跌的真实概率测度，
      可以通过建立模型，并通过数据估计模型参数所得。
    \item 在二叉树无套利模型中，
      我们引入了风险概率中性测度。
      虽然这个测度是``虚构''的，
      但却十分有用，
      它使得我们能够简洁地表述某些方程组的求解结果。
    \item
      两个概率测度对于资产价格路径给出了不同的权重。
    \item
      然而，关于哪些价格路径是可能的（即出现的概率为正），
      它们是一致的。
  \end{itemize}
\note{提问：学习过什么预测方法？ \\}
\note{\hspace{0.95cm} 提示：。\\~\\}
\end{iframe}

\begin{oframe}[c]{两个测度下期望值的关系}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 我们研究了单时段一般衍生证券的无套利定价问题,
      我们有
      \begin{equation*}
          S_0 = \widetilde{\mathbb{E}}\left[ \frac{S_1}{1+r} \right].
      \end{equation*}
    \item
      是否存在一个函数 $g(\cdot)$,
      使得
      \begin{equation*}
          \widetilde{\mathbb{E}}\left[ \frac{S_1}{1+r} \right]
          =
          \mathbb{E}\left[ g\left(\frac{S_1}{1+r}\right) \right]?
      \end{equation*}
    \item
      对于一个一般的随机变量 $Y$,
      是否存在一个函数 $g(\cdot)$,
      使得
      \begin{equation*}
          \widetilde{\mathbb{E}}\left[ Y \right]
          =
          \mathbb{E}\left[ g\left(Y\right) \right]?
      \end{equation*}
  \end{itemize}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{有限空间中的拉东--尼柯迪姆导数}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      考虑一般的有限样本空间 $\Omega$ 上的两个概率测度
      $ \mathbb{P}$ 和 $\widetilde{\mathbb{P}}$.
    \item 
      如果对任一 $\omega\in\Omega$,
      $ \mathbb{P}(\omega) > 0$
      并且
      $\widetilde{\mathbb{P}}(\omega) > 0$,
    \item 
      则称
      \begin{equation}\label{eq:rn_derivative_finite}
          Z(\omega) = \frac{\widetilde{\mathbb{P}}(\omega)}{\mathbb{P}(\omega)}
      \end{equation}
      为 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 关于 $\mathbb{P}$
      的拉东--尼柯迪姆导数。
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{计算三时段模型中的拉东--尼柯迪姆导数}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 考虑图 \ref{fig:compute_rn} 中的三时段模型
    \item 样本空间为：\[
        \Omega = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}.
      \]
    \item 假设 $p = 2 / 3$ 为出现正面的真实概率，
      $\tilde{p} = 1 / 2$ 为出现正面的风险中性概率测度。
      请计算拉东--尼柯迪姆导数。
    \item 练习：对于任一 $\omega = \omega_1\ldots\omega_N$,
      写出 $Z(\omega)$ 的一般表达式。
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{frame}[c]{计算三时段模型中的拉东--尼柯迪姆导数（图）}
\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{../image/BT-3-Z.pdf}
  \caption{}
  \label{fig:compute_rn}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{iframe}[c]{拉东--尼柯迪姆导数性质}
  拉东--尼柯迪姆导数 $Z$ 有如下性质：
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item $ \mathbb{P}(Z > 0) = 1$;
    \item $ \mathbb{E}[Z] = 1$;
    \item 对任意的随机变量 $Y$, 有：
      \begin{equation}\label{eq:rn_property_3}
        \widetilde{\mathbb{E}}[Y] =
        \mathbb{E}[ZY]. 
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{状态价格}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 考虑 $N$-时段二叉树资产定价模型
    \item 
      定义 {\bf 状态价格密度 (state price density)} 为：
      \begin{equation}\label{eq:state_price_density}
          \zeta(\omega) =
          \frac{Z(\omega)}{(1+r)^N},
      \end{equation}
    \item 
      定义 {\bf 状态价格 (state price)} 为相应于 $ \omega$：
      \begin{equation}\label{eq:state_price}
          \zeta(\omega) \mathbb{P}\left(\omega\right).
      \end{equation}
  \end{itemize}
\note{提问：怎么理解状态？ \\}
\note{\hspace{0.95cm} 提示：。\\~\\}
\end{iframe}

\section{拉东--尼柯迪姆导数过程}%
\label{sec:la_dong_ni_ke_di_mu_dao_shu_guo_cheng_}

\begin{iframe}[c]{随机变量的条件期望是鞅}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 考虑 $N$-时段二叉树资产定价模型中的随机变量 $X$
    \item 定义：
      \begin{equation}\label{eq:bookI_3_2_1}
          X_n = \mathbb{E}_n[X],
          \quad n = 0, 1, \ldots, N,
      \end{equation}
    \item 
      则 $X_n, n = 0, 1, \ldots, N$ 在真实概率测度 $\mathbb{P}$ 下是一个鞅。
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{二叉树模型中的拉东--尼柯迪姆导数过程}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 考虑 $N$-时段二叉树资产定价模型中的随机变量 $X$
    \item 定义：
      \begin{equation}\label{eq:bookI_3_2_4}
          Z_n = \mathbb{E}_n[Z],
          \quad n = 0, 1, \ldots, N,
      \end{equation}
    \item 
      则称 $Z_n, n = 0, 1, \ldots, N$
      为 {\bf 拉东--尼柯迪姆导数过程 (radon nikodym derivative process)}。
      特别地，
      $Z_N = Z$, $Z_0 = 1$.
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{二叉树模型中测度期望值的关系---仅依赖于前 $n$ 次抛掷结果}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      如果随机变量 $Y$ 仅依赖于前 $n$
      次抛掷结果，
      $n = 1, 2, \ldots, N$,
    \item 则：
      \begin{equation}\label{eq:book_I_3_2_5}
          \widetilde{\mathbb{E}}\left[Y\right] =
          \mathbb{E}[Z_nY].
      \end{equation}
      如果随机变量 $Y$ 仅依赖于前 $m$ 次抛掷结果，
      $0 \leq n \leq m \leq N$,
    \item 
      则：
      \begin{equation}\label{eq:bookI_3_2_6}
          \widetilde{\mathbb{E}}_n\left[Y\right] =
          \frac{1}{Z_n}\mathbb{E}_n[Z_mY].
      \end{equation}
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{状态价格密度过程}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
    考虑 $N$-时段二叉树资产定价模型。
    \item 
    定义：
    \begin{equation}\label{eq:bookI_3_2_7_0}
        \zeta_n = \frac{Z_n}{(1+r)^n}  ,
        \quad n = 0, 1, \ldots, N,
    \end{equation}
    则称 $\zeta_n, n = 0, 1, \ldots, N$
    为 {\bf 状态价格密度过程 (state price density process)}
    \item 
    我们让 $\zeta_n$, $n = 1, 2, \ldots, N$,
    表示状态价格密度过程，则：
    \begin{equation}\label{eq:derivative_value_state_price_density_process}
        V_n =
        \frac{1}{\zeta_n}\mathbb{E}_n\left[ \zeta_N V_N \right],
        \quad n = 0, 1, \ldots, N.
    \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\section{资本资产定价模型}%
\label{sec:zi_ben_zi_chan_ding_jie_mo_xing_}

\begin{iframe}[c]{效用函数及最优投资问题}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      我们定义
      {\bf 效用函数 (utility function)}
      为实数集上的一个非减凹函数。
    \item
      给定 $X_0$,
      求自适应的资产组合过程
      $\varDelta_n$, $n = 0, 1, \ldots, N-1$,
      使得
      财富方程 (wealth equation)
      \begin{equation}\label{eq:wealth_equation_3}
        X_{n+1} = \varDelta_{n}S_{n+1} + (1 + r)(X_n - \varDelta_n S_n)
      \end{equation}
      约束下，
    \item
      最大化
      \begin{equation}\label{eq:optimal_investment_objective}
          \mathbb{E}\left[ U(X_N) \right].
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{最优投资---单时段问题}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 样本空间为：\[
          \Omega = \{H, T\}.
      \]
    \item 
      假设利率 $r = 1 / 4$, $u = 2$, $d = 1 / 2$,
      投资者的初始财富 $X_0 = 4$.
      假设
      $p = 2 / 3$ 和 $q = 1 / 3$
      分别为抛掷硬币出现正面（股价上升）和背面（股价下跌）的真实概率。
    \item 
      求最优的投资决策 $\varDelta_0$,
      使得在
      \begin{equation}%
          \label{eq:wealth_equation_1_period}
          X_1 = \varDelta_0S_1 + (1 + r)(X_0 - \varDelta_0 S_0)
      \end{equation}
      约束下，
      最大化
      \begin{equation}\label{eq:optimal_investment_objective_1_period}
          \mathbb{E}\left[ \ln(X_1) \right].
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{二时段最优投资问题}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 样本空间为：$\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$
    \item 
      假设利率 $r = 1 / 4$, $u = 2$, $d = 1 / 2$,
      投资者的初始财富 $X_0 = 4$.
      假设
      $p = 2 / 3$ 和 $q = 1 / 3$
      分别为抛掷硬币出现正面（股价上升）和背面（股价下跌）的真实概率。
    \item 
      求最优的投资决策 \[
          (\varDelta_0, \varDelta_1(H), \varDelta_1(T)),
      \]
      使得在
      \begin{equation}%
          \label{eq:wealth_equation_2_period}
          X_{n+1} = \varDelta_{n}S_{n+1} + (1 + r)(X_n - \varDelta_n S_n),
          \quad n = 0, 1,
      \end{equation}
      约束下，
      最大化
      \begin{equation}\label{eq:optimal_investment_objective_2_period}
          \mathbb{E}\left[ \ln(X_2) \right].
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{最优投资---不涉及资产组合过程}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      给定 $X_0$,
      求随机变量 $X_N$（并不涉及资产组合过程），
    \item 
      使得在
      \begin{equation}\label{eq:constant_wealth_0_N}
          \widetilde{\mathbb{E}}\left[ \frac{X_N}{(1+r)^N} \right]
          =
          X_0,
      \end{equation}
      约束下，
    \item 
      最大化
      \begin{equation}\label{eq:optimal_investment_objective_2}
          \mathbb{E}\left[ U(X_N) \right].
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{两个问题的相互关系}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      假设
      $\varDelta_n^*$, $n = 0, 1, \ldots, N-1$,
      是一个最优资产组合过程，
      $X_N^*$ 是相应最优的时刻  $N$ 的财富随机变量，
      则 $X_N^*$ 是不涉及资产组合过程问题的最优解。
    \item 
      反之，
      假设 $X_N^*$ 是不涉及资产组合过程问题的最优解，
      则存在一个资产组合过程，
      使得相应的初始值为 $X_0$ 的财富过程在时刻 $N$ 的值为 $X_N^*$,
      并且这一资产组合过程是
      的最优解。
    \item
      我们可以将最优投资问题分解为易于操作的两个步骤：
      \begin{enumerate}
          \item 求解不涉及资产组合过程问题,
              得到最优投资决策下得到的期末财富，记做 $X_N^*$.
          \item 构建一个能够复制 $X_N^*$ 的资产组合过程。
      \end{enumerate}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{最优投资---不涉资产组合过程且仅含真实测度}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 求解不涉及资产组合过程问题时, 同时出现真实概率测度
      和风险中性概率测度，
      使问题略显复杂。
      我们可以引入拉东--尼柯迪姆导数，
      使其不涉及风险中性概率测度。
    \item 
      只有限制条件
      \eqref{eq:constant_wealth_0_N}
      涉及风险中性概率测度，
      其等价于
      \begin{equation}\label{eq:constant_wealth_0_N_P}
          \mathbb{E}\left[ \zeta X_N \right]
          =
          X_0.
      \end{equation}
    \item 将限制条件 \eqref{eq:constant_wealth_0_N}
      替换成 \eqref{eq:constant_wealth_0_N_P},
      则只含一个真实测度。
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{求解仅含真实测度且不涉资产组合过程的最优投资问题}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      在 $N$-时段模型中，
      共有 $M = 2^N$ 个可能的抛掷硬币结果序列，
      标记为： $\omega^1, \omega^2, \ldots, \omega^M.$
      我们用上标来表明 $\omega^m$ 是整个抛掷硬币结果序列，
      而不是某个序列中的第 $m$ 次抛掷结果。
      定义
      \begin{equation}\label{eq:sequence_of_coin_toss_notations}
          \zeta_m \equiv \zeta\left(\omega^m\right),
          p_m \equiv \mathbb{P}\left(\omega^m\right),
          x_m \equiv X_N\left(\omega^m\right),
      \end{equation}
    \item 
    给定 $X_0$,
    求向量 $(x_1, x_2, \ldots, x_M)$,
    使得在
    \begin{equation}\label{eq:constant_wealth_0_M}
        \sum_{m=1}^{M} p_m x_m \zeta_m
        =
        X_0
    \end{equation}
    约束下，
    最大化
    \begin{equation}\label{eq:optimal_investment_objective_4}
        \sum_{m=1}^{M} p_m U(x_m).
    \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{求解过程}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 拉格朗日函数为：
      \begin{equation}\label{eq:lagrange_function}
          L =
          \sum_{m=1}^{M} p_m U(x_m)
          -
          \lambda\left(\sum_{m=1}^{M} p_m x_m \zeta_m - X_0\right).
      \end{equation}
      拉格朗日乘子方程为：
      \begin{equation}\label{eq:lagrange_multiplier_equations}
          \frac{\partial L}{\partial x_m} =
          p_m U^{\prime}(x_m) - \lambda p_m \zeta_m =
          0,
          \quad m = 1, 2, \ldots, M.
      \end{equation}
    \item 回顾 $x_m$ 和 $\zeta_m$ 的定义，
      我们可将其重写为：
      \begin{equation}\label{eq:lagrange_multiplier_equations_2}
          U^{\prime}(X_N) = \frac{\lambda Z}{(1+r)^N}.
      \end{equation}
      由于函数 $U$ 为严格凹函数，
      其反函数存在，
      记为 $I$.
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{求解过程（续）}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      由式子 \eqref{eq:lagrange_multiplier_equations_2},
      \begin{equation}\label{eq:inverse_function}
          X_N = I \left( \frac{\lambda Z}{(1+r)^N}\right).
      \end{equation}
    \item 
      这就给出了通过乘子 $\lambda$ 表示的最优解 $X_N$ 的公式。
      为求乘子 $ \lambda$,
      可将 $X_N$ 代入式 \eqref{eq:constant_wealth_0_N_P}:
      \begin{equation}\label{eq:constant_wealth_0_N_P_3}
          \mathbb{E}\left[
              \frac{Z}{(1+r)^N} I \left( \frac{\lambda Z}{(1+r)^N}\right)
          \right]
          = X_0.
      \end{equation}
    \item 
      解此方程，
      求出 $\lambda$,
      代入式子 \eqref{eq:inverse_function},
      得到 $X_N$,
      再确定最优资产组合过程
      $\varDelta_n$, $n = 0, 1, \ldots, N-1$.
      以及相应的资产组合价值过程
      $X_n$, $n = 0, 1, \ldots, N$.
  \end{itemize}

\end{iframe}






\end{document}
